La striscia e il tempo che scorre

Se si prende una striscia rettangolare di carta, meglio se “allungata” cioè con una dimensione molto maggiore dell’altra, e la si piega dolcemente su se stessa fino a far coincidere le due estremità, quella che si ottiene è una superficie che possiamo definire “cilindrica”. Con un po’ di colla o di nastro adesivo possiamo fermarla, in modo da poterla esaminare con calma.
Possiamo fare qualche semplice osservazione, assolutamente ovvia, per esempio:
la superficie ha due “facce”, nel senso che se immagino di trovarmi su una di esse e di voler passare sull’altra, sono costretto ad attraversare un “bordo”;
del resto anche i bordi sono due, perché per passare da un bordo all’altro devo per forza attraversare una faccia.
Posso vedere la cosa anche da un altro punto di vista. Se scelgo di colorare un bordo di un colore (rosso, per esempio), posso colorarlo tutto e poi colorare l’altro di un altro colore (il blu può andare bene?). Un analogo ragionamento vale per le facce.
Ancora. Se con le forbici si taglia a metà la superficie, si ottengono due superfici cilindriche con caratteristiche analoghe a quella di partenza (solo alte la metà), ognuna con due bordi, due facce ecc.

Fino a qui tutto molto semplice. Adesso invece procuriamoci una striscia di carta come quella usata in precedenza e costruiamo una superficie simile a quella cilindrica, ma stavolta prima di incollare ruotiamo di 180 gradi il bordo della striscia (vedi figure, che dovrebbero chiarire il procedimento).strip

Quella che abbiamo ottenuto è una striscia di Moebius.P5313481

Ad un primo sguardo non si nota una grossa differenza tra questa e la supeficie cilindrica, ma ad un esame più attento si nota qualche caratteristica peculiare.
La superficie ha una sola faccia. Se immagino di spostarmi su di una faccia, ad un certo punto mi ritroverò “dietro” al punto di partenza e poi di nuovo al punto di partenza, senza attraversare nessun bordo. C’è un’unica faccia. Ma allora i bordi? In realtà c’è un unico bordo, possiamo rendercene conto colorandolo, o anche semplicemente scorrendo lungo di esso con un dito.

Adesso tagliamo a metà la striscia. Sorpresa! non si divide, si forma un’unica striscia più lunga e più bassa. A prima vista sembra anche questa una striscia di Moebius, ma osservandla meglio si vede che le rotazioni di 180 gradi sono due e non una soltanto. Perciò la superficie ha due facce e due bordi, è una banale superficie cilindrica, anche se un po’ più “intrecciata”.

Ma adesso viene il bello, perché possiamo tagliare la nostra superficie non a metà, ma ad un terzo dell’altezza. Si ottiene… non lo dico, chi è curioso può provare 😉

Ancora. Se immagino di far scorrere sulla superficie un oggetto che ruota in senso orario, dopo un giro troverò che l’oggetto ruota in senso antiorario! Dal punto di vista matematico si dice che la superficie è “non orientabile”.

Allora propongo a chi legge una metafora. Uno degli oggetti rotanti più comuni è, ovviamente, la lancetta di un orologio. Perciò si potrebbe pensare che dopo un giro su un nastro di Moebius il tempo, insieme alle lancette, scorra a ritroso. Le metafore più comuni usate per lo scorrere del tempo sono la freccia del tempo (assimilabile ad una striscia di carta non piegata) e il ciclo del tempo (la superficie cilindrica, nella quale dopo un giro si torna al punto di partenza). E se invece il tempo fosse un nastro di Moebius? Allora non scorrerebbe sempre in un’unica direzione, ma alternativamente avanti e indietro…

7 pensieri su “La striscia e il tempo che scorre

  1. L’anello di Moebius mi fa pensare a un libretto di storia del fumetto che circolava in casa mia tra i materiali didattici di mia madre negli anni 70-80 (non so perché si intitolava così e era scritto in modo che metà libro era a fumetti e l’altra metà si apriva rovesciandolo e era testo teorico. Il primo pensiero però va a Escher e alle sue formiche e scale che sembrano sia scendere che salire al tempo stesso e che in effetti producono una sorta di percezione del tempo avanti e indietro.
    Come sarebbe bello avere a scuola aule di matematica e scienze con tanti materiali sperimentali. Bellissimo l’anello di Moebius che si può percorrere come un gioco da giardino per bambini e che si trova nel piazzale del Post. Tutte le scuole elementari dovrebbero averne uno

  2. Devo confessare che devo fare l’esperimento per apire veramente come funzione. però mi incuriosisce molto. Ci vuole poco a stupire chi di scienza e/o matematica non ci capisce niente. Ma si fanno a scuola, con gli alunni questi piccoli ma interessantissimi esperimenti? Spero proprio di sì.
    Già, chissà come scorre il tempo! Come argomento, anche da un punto di vista esclusivamente psicologico, mi sembra immenso. A volte veloce, a volte di una lentezza infinita, altre volte ritorna ciò che è stato, altre ciò che ancora non è e che forse non verrà mai. Tutto mentre lla lancetta dell’orologio continua a fare tic tac, imperterrita.

    • Diceva De André: “”per stupire mezz’ora basta un libro di storia…”, ma anche uno di “matematica ricreativa” può servire…

  3. In effetti, il tempo è lineare, ma è anche circolare. Se pensiamo al tempo della nostra vita, lo possiamo vedere linearmente, in base agli anni e agli eventi che si accumulano: un po’ come nella timeline di un film. Ma possiamo vedere la vita anche come un susseguirsi di eventi che si ripetono: le stagioni, il giorno e la notte, il cartellino del lavoro da timbrare, il pranzo e la cena, ecc.
    Anche la nostra vita, nel suo complesso, potrebbe essere un atto ripetuto, come ci suggerivano anche i filosofi greci che teorizzavano la metempsicosi (gli orfici, Empedocle e, guarda caso, anche il matematico Pitagora che credeva nella trasmigrazione delle anime).
    Potremmo aver vissuto tante vite, senza ricordarle… sotto forme diverse. Il nastro del tempo delle nostre vite potrebbe essere lo stesso film che si riavvolge e si riproietta, continuamente. Con infinite varianti, che saremmo noi. Un po’ come nel film Ricomincio da capo.

  4. E’ vero Mariangela, le scale di Escher si salgono e si scendono, inspiegabilmente, come la musica di Bach, che è perfetta come fosse una geometria dell’anima, dove la sostanza diventa fluida e si ripete, dando un senso di continuità, con infinite variazioni.
    Com’è il tempo che scorre a ritmi e periodi diversi, Silvana. La ripetizione degli eventi nel tempo, forse è anche la metempsicosi, come dice Stefano.
    Marco, ci hai dato un impulso che io all’inizio avevo scambiato per una dimostrazione di “Art Attack”. Non lo dico per ironizzare, ma perché non ci vedevo proprio altro. Bell’esempio, invece, di approfondimento circolare ed intenso, è quello che ci hai ispirato. Grazie !

  5. C’è un bellissimo e pochissimo conosciuto libro di Stephen Jay Gould (famosissimo divulgatore scientifico di questioni geologiche e paleontologiche) che tratta della linearità e/o circolarità del tempo geologico. Anche la nostra storia (la storia della terra e della vita sulla terra) si può vedere attraverso la lente di queste metafore. Il libro è “Il ciclo del tempo, la freccia del tempo – mito e metafora nella scoperta del tempo geologico” (non vi affannate a cercarlo, è introvabile e purtroppo anch’io l’ho perso, ma si trova online la versione originale in inglese).
    Questo fu l’argomento del mio intervento ad uno dei bei pomeriggi “filosofici” da Roberta (a quando la prossima?), ma potrebbe essere uno dei prossimi post.

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